楕円積分の応用
obj0001.png
楕円の弧長を求めてみます。
右図のPからQまでの弧長です。
L=
ó
õ
ds=
ó
õ
Ödx
2
+dy
2
=
ó
õ
Ö1+
dy
dx
2
dx
=
ó
õ
Ö1+
cx
Ö1-x
2
2
dx
=
ó
õ
Ö
1-x
2
+c
2
x
2
1-x
2
dx
離心率k=Ö1-c
2
  とすれば
L=
ó
õ
Ö
1-k
2
x
2
1-x
2
dx
κ=0    この時は真円になります。
これはカルキングの第二種上完全楕円積分に一致しています。
E
(x ; k )=
ó
ô
õ
x

0
Ö1-k
2
t
2
Ö(1-t
2
)
dt
したがって
L=
E
(x ; k )
計算例
x=0.3
κ=0.5
L=
E
(x ; k )=0.30353176542728