3角形に内接する円の導出
3角形の頂点の座標を指定して、3角形に内接する円を求める。 
それらの座標をP
1
(x
1
,y
1
), P
2
(x
2
,y
2
), P
3
(x
3
,y
3
 )とする。
(1) 頂点を結ぶ直線の方程式を定める。
2点(x
p
,y
p
), (x
q
,y
q
 )を通る直線の式は次式で与えられる。
(y
p
-y
q
)x+(x
q
 -x
p
)y+(x
p
y
q
-x
q
y
p
 )=0
a
1
x
0
+b
1
y
0
+c
1
 =0
P
1
とP
2
 を結ぶ直線を
a
2
x
0
+b
2
y
0
+c
2
 =0
P
2
とP
3
 を結ぶ直線を
とすると，
a
3
x
0
+b
3
y
0
+c
3
 =0
P
3
とP
1
 を結ぶ直線を
a
1
=y
1
-y
2
b
1
=x
2
-x
1
c
1
=x
1
y
2
-x
2
y
1
a
2
=y
2
-y
3
b
2
=x
3
-x
2
c
2
=x
2
y
3
-x
3
y
2
a
3
=y
3
-y
1
b
3
=x
1
-x
3
c
3
=x
3
y
1
-x
1
y
3
(2) 直線に接する円の式
点(x
0
, y
0
 )から直線ax+by+c=0への距離をhとすれば、
h=
|ax
0
+by
0
 +c|
Öa
2
 +b
2
(x-x
0
 )
2
+(y-y
0
 )
2
 =r
2
それゆえ、直線ax+by+c=0に接する円の方程式を
とすれば，
(ax
0
+by
0
 +c)
2
 =(a
2
 +b
2
 )r
2
求める円は３つの直線に接するので、
(a
1
x
0
+b
1
y
0
+c
1
 )
2
=(a
1
2
+b
1
2
 )r
2
(a
2
x
0
+b
2
y
0
+c
2
 )
2
=(a
2
2
+b
2
2
 )r
2
(a
3
x
0
+b
3
y
0
+c
3
 )
2
=(a
3
2
+b
3
2
 )r
2
ここで
r>0
(3) 計算例
x
1
 =0
y
1
 =0
x
2
 =5
y
2
 =2
として、解を求めよう。
x
3
 =1
y
3
 =4
まず、直線式の係数に値を代入する。
a
1
=y
1
-y
2
b
1
=x
2
-x
1
c
1
=x
1
y
2
-x
2
y
1
a
2
=y
2
-y
3
b
2
=x
3
-x
2
c
2
=x
2
y
3
-x
3
y
2
a
3
=y
3
-y
1
b
3
=x
1
-x
3
c
3
=x
3